Задачи и содержание работы, направленной на развитие количественных представлений в старшей группе, определяются с учетом знаний и умений, усвоенных детьми в средней группе. К ним относятся умения считать предметы, звуки, движения в пределах 5, сравнивать их, определять и практически устанавливать равенство и неравенство. Число воспринимается детьми при этом как итог счета, показатель определенного количества предметов, опознавательный и различительный признак ряда совокупностей.
В старшем дошкольном возрасте (шестой год жизни) количественные представления в процессе обучения формируются под влиянием овладения счетной и измерительной деятельностью. Число выступает как результат счета, характеристика эквивалентных, равночисленных множеств, как результат измерения.
В старшей группе продолжается работа по формированию представлений о численности (количественная характеристика) множеств, способах образования чисел, количественной оценке величин путем измерения.
Дети осваивают приемы счета предметов, звуков, движений
Г по осязанию в пределах 10, определяют количество условных ме-рок при измерении протяженных объектов, объемов жидкостей, масс сыпучих веществ.
В процессе применения педагогом разнообразных способов сравнения предметных множеств дети учатся образовывать числа путем увеличения или уменьшения данного числа на единицу, уравнивать множества по числу предметов при условии количественных различий между ними в 1, 2 и 3 элемента.
Как и в средней группе, дети отсчитывают количество предметов по названному числу или образцу (числовая фигура, карточка) или больше (меньше) на единицу, упражняются в обобщении по числу предметов ряда конкретных множеств, отличающихся пространственно-качественными признаками (форма, расположение, направление счета и др.) на основе восприятия различными анализаторами.
С целью подготовки детей к счету групп их обучают умению разбивать совокупности в 4, 6, 8, 9,  10 предметов на группы  по 2, 3, 4, 5 предметов, определять количество групп и число отдельных предметов.
Дети знакомятся с количественным составом чисел из единиц в пределах 5 на конкретных предметах и в процессе измерения, что уточняет и конкретизирует представление о числе, единице, месте числа в натуральном ряду чисел.
В старшем дошкольном возрасте продолжается обучение детей различать количественное и порядковое значение числа, вырабатываются умения применять количественный и порядковый счет в практической деятельности.
В ходе сравнения множеств и чисел дети знакомятся с цифрами от 0 до 9. Учатся относить их к числам, различать, использовать в играх.
В старшей группе дети фактически могут уже делить целое (предмет, геометрическую фигуру) на 2 и 4 равные части, устанавливают зависимости между частью и целым, частями целого; овладевают умением пользоваться в речи понятиями (словами), отражающими количественные отношения: поровну, столько же, одинаково по количеству, такое же число, не поровну, число, цифра, наложение, приложение, составление пар, часть, целое, половина,  четверть и др.
Дети учатся правильно строить и использовать в речи простые и сложные предложения, краткие и точные выражения, объяснять полученный результат, отвечая на вопросы: «Что ты сделал? Что узнал? Как ты выполнил задание? Как ты будешь выполнять задание?» Усиливается внимание к осмыслению вопросов со словами сколько, который, адресованных товарищам, воспитателю.
В ходе обучения воспитатель в своей речи использует слова и выражения, смысл которых понятен детям: количество, сравни по количеству, отсчитай, по скольку, признак и т. д.
Обучение счету, знакомство с цифрами, образованием чисел
В старшей группе продолжается формирование у детей счетной деятельности, дальнейшее развитие представлений о числах: их количественном, порядковом значении, способе получения чисел, отличающихся на единицу, месте и порядке следования. Дети овладевают умением оперировать числами в разных условиях, независимо от внешних особенностей объектов.
Возросшие по сравнению со средней группой требования к характеру количественных представлений детей определяются возрастными возможностями пятилетних детей, способностью к обобщению, воспроизведению, логике суждений.
На занятиях по формированию количественных представлений необходимо соблюдать общую последовательность в усложнении материала и комплексный подход к решению простейших задач. Формирование счетных умений, действий по отсчету и воспроизведению, сравнению, образованию чисел, уравниванию, обобщению и др. осуществляется одновременно, взаимозависимо, на одном и том же наглядном материале. Обучение счету в пределах 10 не следует растягивать на длительный период. Для этого достаточно трех-четырех занятий. Вся последующая работа с детьми на занятиях и вне их способствует выработке счетных навыков.
Для развития у детей представлений о последовательности натуральных чисел в ходе обучения количественному счету показывается способ получения числа, большего на 1 (а затем и меньшего), путем прибавления к данному числу единицы, практически же добавляется один предмет. Так, при обучении детей счету до 6 сопоставляются два однородных по составу множества: 5 груш и 5 яблок. Выявляется и получает словесное выражение их равночисленность: столько же, поровну, одинаково по количеству, по 5. Затем добавляется 1 груша, отмечается, что стало больше на 1, чем было, и сравнивается полученное множество с тем, что осталось без изменения: «Груш больше, чем яблок».
После сравнения определяется количество предметов. Впервые на занятии в пределах нового для детей числа воспитатель считает, акцентируя голосом вновь полученные итоговые числа. В случае необходимости напоминает детям правила и назначение счета.
Далее можно перейти к сравнению множеств предметов: «Чего больше: груш или яблок? На сколько? Чего меньше и на сколько? Какое число больше? Какое меньше? Как получили число 6? 6 больше какого числа?»
Обобщая ответы детей, педагог обращает их внимание на способ получения числа 6, на увеличение данного числа 5 путем прибавления к нему числа 1 (единицы). В ходе дальнейших упражнений дети самостоятельно образуют большие и меньшие на единицу числа в пределах изучаемого отрезка натурального ряда (до 10).
Все практические действия производятся на наглядно представленных конкретных множествах с постоянным отвлечением к их числовой характеристике, т. е. к числу. Дети постепенно переходят к действиям над числами (уменьшение, увеличение на 1). Это требует от них запоминания наглядно представленных чисел с помощью предметов данного множества.
В процессе обучения счету и измерению у детей формируются представления о последовательности чисел, способе получения каждого из них в пределах 10, отношениях между числами. В дальнейшем на протяжении года эти знания осмысливаются детьми и приобретают форму речевого выражения. А.
Ознакомление с цифрами как знаками для обозначения чисел) не представляет для детей особой трудности. Уже в 3—4 года дети начинают ориентироваться в цифрах: узнают номера автобусов, домов и т. д. Это не означает, что цифра воспринимается ими как условный знак числа. В представлении детей цифра ассоциируется с конкретным признаком объекта, закрепляется за ним, например номером квартиры. На определенном уровне сформированности представлений о числе по мере накопления опыта в распознавании количеств цифра, ее значение, назначение отождествляется с числом, т. е. служит показателем количественной стороны множества.
В процессе обучения счету на основе сопоставления, упражнений по уравниванию есть возможность познакомить детей с цифрами: научить различать, называть, находить, выстраивать их в ряд, используя для этого карточки с цифрами.
В ходе упражнений по количественному сравнению групп предметов педагог показывает детям разные способы (кроме выражения в числе) обозначения какого-либо количества. Для этого справа от группы предметов (после пересчета их) выкладывают такое же количество палочек, вывешивают счетную карточку, числовую фигуру и т. д. Затем показывается способ графического обозначения числа — цифра. Цифра помещается рядом как общепринятый знак числа, свидетельствующий о том, что предметов определенное количество. В дальнейшем необходимо предоставить детям возможность выбрать нужную цифру, воспроизвести, нарисовать количество предметов, указанное цифрой.
На одном занятии можно знакомить детей с несколькими цифрами. Для закрепления записи цифр используются различные обследовательские действия, такие, как обведение пальцем, штриховка контурных цифр, а также чтение известных литературных произведений.
После ознакомления детей с несколькими цифрами необходимо познакомить их с цифрой 0 (нуль). Наличие предметов показывается соответствующей цифрой, отсутствие их — тоже цифрой 0. Запись числа 10 состоит из двух цифр: 1 и 0 (единицы и нуля).
Своевременное ознакомление детей с цифрами способствует осмыслению ими числа как показателя количества, абстрагированию его от конкретного содержания, расширению возможностей применения чисел в практической деятельности.
В старшей группе дети упражняются в счете множеств, воспринимаемых различными анализаторами: предметов, звуков, движений. В сравнении со средней группой усложняется характер пересчитываемых звуков, движений, материал для счета на ощупь, возрастает самостоятельность детей. Дети считают количество громких и тихих звуков с разными интервалами, разнообразные движения, предметы, нанизанные на проволоку, зашитые в мешочек, нашитые на карточку (считают, спрятав их за спину) и т. д. Дети считают звуки (когда источник звука отделен ширмой), предметы по осязанию с открытыми глазами и закрытыми глазами, сравнивают полученные числа, отсчитывают предметы по заданному числу и образцу, запоминают числа и качественные признаки предметов (отсчитать 3 красных и 8 зеленых карандашей, сосчитать, сколько окон в комнате и сколько дверей, и т. п.).
Обучение сравнению группы предметов и чисел
Сравнение двух или нескольких множеств предметов путем поэлементного соотнесения имеет место и в работе с детьми 5—6 лет. Оно помогает вычленить способ получения следующего и предыдущего числа, одного и того же числа двумя путями (3 — это 2+1 или 4—1), а также убедить детей в равенстве или неравенстве множеств по числу предметов. Поэтому все известные детям способы сравнения: наложение, приложение (по рядам и столбцам), Составление пар, соединение предметов линиями, применение эквивалентов — следует использовать и в обучении детей старшего дошкольного возраста.
Особое внимание нужно обратить на обнаружение соответствия или несоответствия с помощью попарного соединения предметов линиями и применения предметов-заместителей (эквивалентов). Это способствует не только развитию умений обобщать знания и способы действий, но и формированию абстрактных форм мышления.
В ходе упражнений на установление соответствия с помощью линий реальные предметы, их изображения (по договоренности с детьми) заменяют условными обозначениями (кукол — точками, открытки — квадратами) и отделяют одни от других замкнутой линией. В одном круге рисуют точки, в другом — квадратики. С помощью линии или стрелок выясняется, получит ли каждая кукла открытку или нет, чего будет больше (меньше).
Для сравнения двух множеств, отличающихся на один или несколько элементов, используются предметы-эквиваленты, из сопоставления которых делается вывод о количественной стороне первого и второго множества. Этот прием удобен, когда невозможно непосредственно соотносить предметы по количеству, при измерении.
В качестве эквивалентов используются фишки, косточки на счетах и др. Таким образом можно определить равенство или неравенство числа окон в групповой комнате и музыкальном зале. Вначале определяют число окон в зале и откладывают на верхней полоске наборного полотна (или счетах) такое же число фишек, а после считают количество окон в группе и откладывают на нижней полоске наборного полотна соответствующее число фишек. Сравнивают числа, делают вывод. Различия в количестве 2, 3 отмечаются как более значительные, чем в 1, и определяются как «намного больше», «на несколько больше». Педагог вопросами уточняет способ сравнения, определение одной совокупности, как большей или меньшей в сравнении с другой. Допустимо сравнение фишек (опосредованным путем) и без предварительного счета предметов. В этих случаях количество фишек фиксируется на основе сравнения: сколько окон, столько и фишек.
Уравнивание совокупностей по числу предметов дети старшей группы осуществляют обычно двумя способами: путем увеличения или уменьшения на единицу. Уравнивание по числу возможно только на основе счета и сравнения. Сначала сравниваются две совокупности (по 6 и 7 предметов), выясняется, что число 7 больше, чем 6, а 6 меньше, чем 7, и каковы разностные отношения между данными смежными числами.
Педагог поясняет, что возможно уравнивание по большему числу, тогда необходимо к меньшему числу 6 прибавить единицу, и получим большее число (такое же, столько же, сколько было до увеличения в большей совокупности), т. е. уравниваются совокупности по числу. Уравнивание по меньшему числу состоит в уменьшении большего числа 7 на единицу.
При сравнении групп, отличающихся числом предметов больше, чем на единицу, уравнивание осуществляется путем отсчета из большей группы того же количества предметов, которое содержится в меньшей. Предметы раскладываются попарно, определяется количество их в меньшей группе и такое же количество отсчитывается из большей. Сравнение групп с разницей в 2—3 предмета способствует более глубокому осмыслению отношений «на сколько».
В разных условиях сравниваются не только по две совокупности, но и по 3_4 (мишек угощают конфетами, а затем пряниками). Группы предметов могут быть равными и неравными по количеству. Сравнивается первая совокупность со второй (мишек и конфет поровну, по 5), затем — вторая с третьей (конфет раздали столько же, сколько и пряников) и делается вывод о равночисленное™ трех групп предметов (дочисловое сравнение и обобщение по числу).
Дети старшей группы более самостоятельны в суждениях о равенстве по числу при условии пересчета одной из групп предметов, приведенных в однозначное соответствие.
— Мы видим, что конфет столько же, сколько мишек, а пряников столько, сколько конфет. Можем ли, не считая, сказать, сколько конфет, если мишек 5?  А пряников сколько?
При сравнении двух-трех неравных групп с отличием на единицу дети подводятся к суждению о том, что если одна из сравниваемых групп по численности больше, то вторая будет меньше. Осуществляется перенос этой зависимости и на числа: если число 3 меньше 4, то 4 больше 3.
В старшей группе сравниваются между собой 3—4 числа: 1, 2, 3; 3, 4, 5; 5, 6, 7 и т. д., что позволяет формировать представление о направленности ряда чисел, способах образования смежных данному (3) чисел (2 и 4), образования какого-либо числа (5) двумя способами (4+1, 6—1). Решению этих же задач способствует использование таких приемов, как «числовая лесенка» (построение, зарисовка, составление), нахождение «соседних» чисел к названному, чисел больше (меньше) на 1 названного и др. Дети учатся выражать отношения между числами в речи: «Восемь больше семи на единицу»; «Восемь больше семи»; «Число 8 больше числа 7»; «8 больше, а 7 меньше».
Здесь уместно проводить работу по формированию простейших представлений о свойстве транзитивности отношений «меньше» и «больше»: «если 1 <2 и 2<3, то 1 <3», «если 3>2 и 2> 1, то 3> 1».
Важно при обучении формировать умение видеть постоянство (сохранение) количества, состав чисел из единиц, порядок счета, разбиение совокупностей на группы.
Дети старшего дошкольного возраста иногда заменяют количественную оценку множества непосредственным восприятием. Совокупность воспринимают как большую в зависимости от расположения, места, занимаемого предметами, и других несущественных признаков. Поэтому следует убедить детей в том, что количество (число) не зависит от внешних свойств сравниваемых объектов, оно постоянно в определенных условиях.
Частично решить эту задачу возможно через разнообразие предметов, используемых при счете, сравнении, обобщении по числу: составлять совокупности из разнородных предметов, раскладывать их в пространстве с разной степенью плотности ряда, считать и сравнивать предметы окружающей обстановки и т. д. Во время занятия необходимо варьировать задания, способы расположения, сравнения, изменять количество предметов, развивая этим у детей гибкость и подвижность мысли.
В ходе упражнений педагог создает проблемную ситуацию, предлагает детям найти самый удобный в данном случае способ доказательства равенства или неравенства, изменить форму расположения предметов по определенным заданным им условиям, собственному замыслу, зарисовать и графически выразить отношения групп (линией, стрелкой).
Упражнения, формирующие умения видеть постоянство количества, сочетаются с показом независимости итогового числа от направления счета, начальной точки. Для этого полезно использование таблиц, счетных карточек и числовых фигур, воспроизведение определенных количеств, выполнение поручений. Такие упражнения заканчиваются обобщением ряда множеств по числу с выделением различий, или, наоборот, подчеркивается неравенство групп и кажущиеся различия в них.
На данном этапе обучения педагог поощряет быстроту умения считать на основе длительного восприятия, «схватывание» небольших количеств: в пределах 2—3 предметов без счета, удержание чисел в памяти, самостоятельность и инициативу детей.
К суждению о независимости количества предметов от их внешних признаков педагог подводит детей вопросами, подчеркивает роль счета и поэлементного сопоставления в определении равенства или неравенства множеств. 176
В старшей группе дети осваивают количественный состав чисел в пределах 5 из единиц. Эта работа проводится на предметных множествах. Берется множество разнородных предметов и отмечается его состав: один мишка, одна кукла, один заяц — все три игрушки. После перечисления делается переход к составу числа: число 3 состоит из трех единиц: одна, еще одна и еще одна. Такие упражнения раскрывают детям количественный состав чисел из единиц, а отсюда и отношение: «число — единица» (количество единиц определяется числом, и наоборот). Знание количественного состава способствует осмыслению и пониманию детьми места числа в натуральном ряду, является подготовкой к вычислительной деятельности.
Занятия следует строить так, чтобы дети активно участвовали в составлении чисел с опорой на наглядный материал, отвечали на вопросы, делали обобщения.
Педагог указывает на набор игрушек, фигур (круги разных цветов, разные фигуры) и предлагает взять из них три так, чтобы не было одинаковых предметов: «Отсчитайте три разные игрушки. Возьмите три треугольника разного цвета». Затем анализируется состав этого множества и делается вывод о составе числа: «Сколько всего треугольников? По скольку взято треугольников каждого цвета? Сколько треугольников разного цвета вы взяли, чтобы их стало три? Из скольких единиц состоит число 3? (Показываются предметы.) Значит, число 3 состоит из трех единиц (одна, еще одна и еще одна). Сколько возьмете предметов, если я назову число 3?»
Затем дается задание взять четыре неповторяющихся по признакам предмета. Выложенные на наборном полотне группы сохраняются и служат наглядной основой для различения чисел по составу. Упражнения и материал варьируются.
По мере усвоения состава чисел из единиц в условиях практических действий с разнородным материалом детям предлагают выполнить аналогичные упражнения на однородном материале, определять количество мерок перечислением их по одной, устно называть и перечислять состав числа.
Детей пяти лет продолжают учить различать числа по их количественному и порядковому значению, находить ответы на вопросы «сколько?» и «который?» адекватными действиями, использовать в речи порядковые числительные, знать их назначение.
Детей учат считать предметы по порядку в пределах 10 со сменой направления счета. Считают по порядку слева направо, справа налево в зависимости от заданных условий (направление движения, предметный ориентир, практическая необходимость).
В процессе обучения порядковому счету используется различный наглядный материал: объекты, расположенные в порядке убывания или возрастания по величине, отличающиеся по качественным признакам, однородные. Одно и то же множество предметов упорядочивают по различным отношениям порядка.
Вопросы педагога направляют внимание детей на выделение признаков предметов, порядка следования, общего количества: «Который?» «Какой по счету?», «Кто?», «Какого цвета?», «Сколько?».
Воспитатель создает ситуации, в которых есть необходимость определения порядка следования: дети идут на прогулку, возвращаются с прогулки в другой последовательности; сопоставляя общее количество кукол и подарков для них, определяют, что получила в подарок шестая кукла, сколько всего подарков роздано, которая кукла получила в подарок конфету и т. д. В дальнейшем определяют порядок расположения рядов и столбцов в сериационном ряду, «числовой лесенке», порядок следования дней недели.
По мере освоения порядкового счета проводятся упражнения на однородном материале: «Какой по счету этот (воспитатель указывает) мишка? Покажи седьмого мишку. Надень шапку на пятого» и др.
Обучение порядковому счету основано на дифференцировке количественного и порядкового значения чисел и практического использования их, исходя из ситуации.
С целью подготовки детей к счету групп, арифметическим действиям, познанию зависимости между целым и частью проводятся упражнения в делении совокупностей (из 4, 6, 8, 9, 10 предметов) на группы по 2, 3, 4, 5 предметов. При этом определяется общее количество предметов, групп, предметов в каждой группе, зависимость между количеством групп и предметов в них.
Упражнениям придается игровой характер: распределить самолеты по звеньям, предметы парами, разложить яблоки в вазы, машины расставить в гаражи и т. д. Дети делят совокупности на группы, ориентируясь при этом на дополнительные признаки (цвет, размер, назначение). На одном и том же занятии меняется количество групп, на которое делится совокупность, фиксируются ведущие к этому изменения — количество предметов в каждой из групп: «Сколько всего кругов? (Восемь.) На сколько групп можно разделить их? (На две, четыре.) Сколько групп получили? (Четыре.) По скольку предметов в каждой группе? (По два.) По скольку кругов будет в группе, если разделим круги на две группы? (По четыре.) Почему при делении на две группы в каждой из них по четыре предмета, а при делении на четыре группы — по два?»
Педагог, обобщая ответы детей, помогает им сформулировать функциональную зависимость между количеством групп и предметов в них.
В старшей группе дети учатся делить целое (геометрические фигуры, предметы) на равные части. Это необходимо в качестве пропедевтики к усвоению долей и дробных чисел в школе, углубления понимания детьми элементарных математических отношений: «больше», «меньше», «равны».
Обучение строится на общих и функциональных зависимостях целого и части: часть всегда меньше целого, а целое больше части; равенство частей целого между собой; функциональная зависимость между количеством и размером частей: чем больше количество частей, на которое делится целое, тем меньше каждая часть, и, наоборот, чем больше часть, тем на меньшее количество частей разделено целое.
Деление целого на части осуществляется практически путем складывания с последующим разрезанием или путем разрезания.
Освоение детьми способов деления целого на равные части и отношения «целое — часть» способствует углублению понимания ими единицы. Слово один они относят к разным величинам: то к целому, то к его части, причем разного размера.
Обучение делению целого на части осуществляется с учетом особенностей понимания детьми отношения «целое — часть». К старшему дошкольному возрасту у детей накапливается опыт деления целого на части (в играх, конструировании, быту). У них складывается бытовое понимание целого как неделимого и восприятие каждой части целого как нового, самостоятельного объекта.
Задачи обучения состоят в следующем:
—научить детей делить предмет на две, четыре равные части путем разрезания или последовательного складывания плоских предметов пополам;
— сформировать представление о зависимости целого и части, уметь воспринимать как целое не только неразделенный предмет, но и воссозданный из частей;
— упражнять в способе сравнения частей, полученных при делении целого на равные части, путем наложения, уточнить значение слова равенство;
— способствовать развитию самостоятельности мышления, сообразительности, упражнять детей в нахождении новых способов деления, выявления зависимостей.
В ходе обучения у детей формируется понимание половины как части целого, деленного на две равные части, четверти — на четыре равные части. Они учатся выражать в речи способ деления, складывания, соотношение частей.
Вначале детей знакомят со способами деления целого на равные части (две и четыре) путем сгибания без разрезания, что дает возможность обнаружить части внутри целого, их количество и соотношение с целым, каждая из частей меньше целого, целое больше части. С этой целью берутся плоские предметы: круги, полоски бумаги, шнуры, тесьма и др.
Детям свойственно определять полученные в результате решения части, пользуясь названиями геометрических фигур (квадраты, треугольники), а не признаком формы. Они не выделяют форму частей: части квадратной, треугольной формы. Слово часть в своей речи они заменяют названиями геометрических фигур. Предупреждению данной ошибки и упражнению в употреблении слов часть, часть целого, половина, четверть способствуют упражнения на деление таких предметов, когда в результате получаются части, не имеющие прямого сходства с геометрическими фигурами.
В процессе деления путем складывания дети убеждаются в том, что одноразовое перегибание листа бумаги ведет к получению двух равных частей, двухразовое — четырех.
В дальнейшем педагог упражняет детей в делении путем складывания с разрезанием и последующим склеиванием частей для воссоздания целого. С целью уточнения зависимостей целого и частей используется прием деления на равные и неравные части и воссоздания целого из них. Педагог, указывая на часть, спрашивает детей, можно ли ее назвать частью целого: половиной, одной четвертой частью, предлагает использовать практические приемы для убеждения в этом: наложение частей, воссоздание целого.
Дети, обучаясь делению предметов (яблока, пряника) в бытовых для них ситуациях на равные и неравные части путем разрезания, уточняют, что только при делении на равные части каждую из них можно назвать долей. В игровой ситуации при соблюдении требований к делению каждый из участников получает предназначенную ему долю целого предмета.
Итак, количественные представления у детей 5—6 лет, сформированные под влиянием обучения, носят более обобщенный характер, чем в средней группе. Дошкольники пересчитывают предметы независимо от их внешних признаков, обобщают по числу. У них накапливается опыт счета отдельных предметов, групп, использования условных мерок.
Усвоенные детьми умения сравнивать числа на наглядной основе, уравнивать группы предметов по числу свидетельствуют о сформированности у них представлений об отношениях между числами натурального ряда.
Счет, сравнение, измерение, элементарные действия над числами (уменьшение, увеличение на единицу) становятся доступными детям в разных видах их учебной и самостоятельной деятельности.